Bilgisayar yardimiyla uc boyutlu geometrik tasarimda bir devrim yaratan Dr. Pierre Bezier'in karikaturu.

Bugun Bezier yuzeylerini en azindan on defa derslerde anlattiktan sonra Bezier'in goruntu bilime katkisinin en azindan Bezier'in kendisi kadar mutevazi oldugunu rahatca soyleyebiliyorum. Ayni zamanda da her gecen gun Bezier'in katkisinin goruntu bilim icin ne kadar onemli oldugunu farkediyorum. Yani Bezier gun gectikce gozumde buyuyor. Bezier'in katkisinin mutevaziligine karsin cok onemli oldugu iddiasi ilk bakista tutarsiz gibi gorunse dahi bu olay bilimde cok rastlanan bir durum. Cok onemli buluslarin pek cogu aslinda cok basittir. Onemleri dusunme bicimimizi degistirmelerinden kaynaklanir.

Bezier'nin dusunme bicimimizi nasil degistirdigini anlatmasi cok basit. Ortaokuldan beri devamli karsimiza cikan polinomlari baska bir bicimde yazdi. Basit bir ornek verirsem birinci dereceden bir polinomu y=2x+3 seklinde yazabiliriz ama illa da boyle yazmamiz gerekmez. Ayni polinomu baska bir sekilde ornegin y=3(1-x)+5x seklinde de yazmamiz mumkun. Birinci sekildeki yazis ortaokuldan beri alistigimiz bir yazis tarzi oldugu icin ilk bakista daha tanidik geliyor ama bunca senedir o tur denklemleri gormenize ragmen bu denklemin tanimladigi dogrunun nasil bir dogru oldugunu elinize kagit kalem almadan anlayamazsiniz. Ikinci denklem ise dogrunun nasil bir sey olduguna dair bilgiyi bize kolayca verir. Bu dogru x=0 icin y=3'ten ve x=1 icin y=5'ten gecen bir dogrudur. Ben bunu yazarken hic hesap yapmadim. Denklemin katsayilari 3 ve 5 bana bu bilgiyi direk olarak verdi. Bezier polinomlarinin katsayilari tanimladiklari egri yada yuzeyin sekli hakkinda onemli bilgiler verirler. Sadece bu kadarla da kalmaz. Bu katsayilari cok az degistirseniz egri yada yuzeyin sekli de cok az degisir. Ortaokuldan beri bildigimiz denklemde ise bu soylediklerim gecerli degildir. Katsayilara bakip ortaya cikacak egri yada yuzey hakkinda bir sey soylemek mumkun degildir. Katsayilari cok cok az degistirdiginizde dahi bambaska bir egri yada yuzey cikabilir ortaya.

Matematik denklemlerin cisimlerin sekillerini tanimlamak icin kullanilmasi Ikinci Dunya Savasiyla baslamisti. Savastan once buyuk gemilerin ve ucaklarin planlari aslina uygun bir sekilde spline denen tahtadan yada metalden yapilmis egrilebilen cisimler kullanilarak ciziliyordu. Bu planlar son derece buyuk olduklari icin kocaman hangarlarda saklaniyordu. Ikinci Dunya Savasi sirasinda planlarin saklandiklari hangarlarin bir dusman hava saldirisinda tahrip edilebilecegi korkusu bu planlarin basit denklemler olarak ifade edilmesi geregini cikardi. Denklemleri saklamasi kolaydir. Denklemin tipini biliyorsaniz sadece katsayilari bir kagida yazmaniz yeter. Cebinizde tasiyabilirsiniz. Matematik denklem olarak onceleri daire, elips, parabol ve hiperbol gibi sekilleri veren ikinci dereceden kapali denklemler kullanildi. Fakat 1960'lara gelindiginde bu denklemlerin kisitli oldugu acikca ortaya cikmisti. Spline'larin sekli parca parca elips, parabol ya da hiperbol kullanilarak elde edilemiyordu.

University of Wisconsin Madison'da ogretim uyesi olan Iso Schoenberg spline'larin seklinin yuksek dereceli polinomlar kullanilarak elde edilebilecegini gosterip, denklemlerini matematik spline diye adlandirdi. Fakat Shoenberg'in spline'larinin uretebilecegi sekiller eksen takimlarinin seciminden etkileniyorlardi. Boeing Ucak firmasinda calisan Ferguson ve British Ucak firmasinda calisan Malcolm Sabin Schoenberg'in matematik spline'larini vektor degerler alacak sekilde genisletince parametrik denklem kavrami dogdu. Parametrik spline'lari kullanmak sekilleri eksen takimlarindan bagimsiz tasarlamayi sagladi.

Parametrik spline'lari klasik denklem biciminde kullanmak onceki paragraflarda acikladigim gibi cok tehlikeliydi. Klasik polinom denklemlerinde katsayilar sekil hakkinda hic bir bilgi icermiyorlardi. Sekil katsayilar biraz degisince dahi olaganustu degisebiliyordu. Denklemi saklamak demek katsayilari saklamak demek olduguna gore katsayilarda yapilacak ufak bir hata dahi buyuk bir fiyata malolabilirdi.

Bezier'nin Sekil ile denklem arasinda iliski kurma fikri duyulur duyulmaz B-spline'lar gelistirildi. University of Wisconsin Madison'dan Carl De Boor, University of Utah'dan Richard Riesenfeld ve doktora ogrencisi Brian Barsky, University of East Anglia'dan Robin Forest, University of Arizona'dan Gerald Farin 70'lerdeki calismalariyla kisa zamanda B-spline'lari kullanisli hale geldiler.

Parametrik polinomlarin dolayisiyla da B-spline ve Bezier polinomlarinin onemli bir problemi daha vardi. Inanmayacaksiniz ama o kadar guclu gozukmelerine karsin parametrik polinomlar basit bir cemberi temsil edemezler. Cember cizmek icin sinusler gibi polinom olmayan denklemlere yada kesirli polinomlara ihtiyac vardir. Non-Uniform Rational B-Spline'lar (Esit aralikli olmayan ve kesirli B-spline'lar) yada kisa adlariyla NURBS, cember ya da kure cizebilmek icin ortaya atildi. Su anda bilgisayar yardimiyla geometrik tasarim programinin cogunda NURBS kullaniliyor.

Eger yuksek dereceli polinomlar daha anlamli bir sekilde yazilamasalardi boylesine kullanisli uc boyutlu geometrik tasarim programlari yazabilmek de mumkun olamayacakti. Bugun ekran basinda rahatca uc boyutlu cisimler tasarliyabiliyorsak bunu buyuk olcude Bezier'nin mutevazi katkisina ve bulgusunu bilim dunyasiyla paylasmasina borcluyuz.